01. 거리·속력·시간 / 농도 / 일률 / GCD·LCM / 금액 / 경우의 수

*거리·속력·시간: 단위를 통일한다

 

거리X속력 = 시간
속력 = 거리/시간
시간 = 거리/속력

1h = 60min, 1km = 1,000m
구하고자하는 값을 x로 놓는다
일정한 값을 이용해 A+B=시간(거리), A=B 꼴의 방정식을 만든다

1) 속력 변경 문제
전체 거리가 L, 처음 속력은 Va, 길이 x만큼 이동 후  속력 Vb로 길이 y만큼 더 이동할 때, 전체 시간 t는?
① x + y = L 
② x/Va + y/Vb = t

2) 평균 속력 문제(조화평균)
전체거리가 L, 갈 때 속력은 Va, 올 때 속력은 Vb일 때 평균속력 V는?
V = 2L/(L/Va + L/Vb) = 2VaVb(Va + Vb)
평균속력 = 총 이동거리/총 이동시간

※ 100km을 60km/h 80km/h 속력으로 왕복한다하면 평균속력은 70km/h가 아니다
              → 2*60*80/(60+80)km/h다

3) 보트문제
① 하류로 내려갈 때의 속력 = 배의 속력Va + 물의 속력Vb
② 상류로 올라갈 때의 속력 = 배의 속력Va - 물의 속력 Vb

4) 따라잡기 문제
갑과 을이 달리기를 하는데 을은 L만큼 앞선 자리에 서 있다. 동시에 출발 했을 때 t 시간 후에 갑은 을을 따라잡는다.
갑의 속력은 Va 을의 속력은 Vb일 때 따라잡는 시간 t는?
① Va X t = L + Vb X t
② Va - Vb = L/t
③ t = (Va - Vb)/L

5) 만나기 문제
갑과 을은 L만큼 떨어져 있다. 갑은 속력이 Va 을은 속력이 Vb로 서로 만나기 위해 마주보며 걷는다. 만나는 시간 t는?
① 전체거리 L = 갑이 t시간 동안 이동한 거리 + 을이 t시간 동안 이동한 거리
② Va X t + Vb X t =L
③ t = (Va + Vb)/L

6) 운동장 문제
한 바퀴 거리가 L인 운동장에서 갑의 속력은 Va, 을의 속력은 Vb이고 동시에 출발할 때, (단 Va > Vb 이다)
① 같은 방향으로 달려서 시간 t 일 때 1바퀴를 더 달려 따라잡는 경우
    i) 갑의 이동거리 - 을의 이동거리 = L(1바퀴)
   ii) Va X t - Vb X t = L
  iii) t = L/(Va - Vb)
② 반대 방향으로 달려서 시간 t에서 만나는 경우
    i) 갑의 이동거리 + 을의 이동거리 = L(1바퀴)
   ii) Va X t + Vb X t = L
  iii) t = L/(Va + Vb)

7) 기차 문제
기차의 길이가 a, 기차의 속력은 Va, 터널(다리)의 길이가 L인 경우 
① 완전히 터널(다리)를 지나는 시간이 t인 문제
    i) 기차가 완전히 터널을 지나려면 기차의 뒷단이 빠져 나가야 한다
   ii) 기차의 앞 단이 움직이는 거리 = 터널의 길이 + 기차의 길이
  iii) Va X t = a + L
  iv) t = (a + L)/Va
② 마주오는 기차의 길이가 b, 속도 Vb일 때, 두 기차가 완전히 지나치는 시간이 t인 문제
    i) 두 기차 길이의 합을 두 기차의 속력의 합으로 지나간다
   ii) a + b = (Va + Vb) X t
  iii) t = (Va + Vb)/(a + b)

농도

① 의미: 용질의 양을 구성하는 용질의 양의 정도
② 계산방법
      · 소금물의 양 = 소금의 양 + 물의 양
      · 소금물의 농도 = (소금의 양/소금물의 양)x100 = (소금/(소금+물))x100
③ 체크사항: 그림을 그리고 소금의 양이 변하지 않음을 이용하여 방정식을 만든다
      · 소금의 양 = 농도x소금물 

일률

① 의미: 단위시간 동안 처리할 수 있는 일의 양
② 계산방법
      · 전체 작업량을 1로 놓고, 어떤 사람이 작업을 마치는 작업시간으로 나눈다
      · 일률은 속력과 같은 개념이다
      · 일률이 더해지면 더 빨리 작업이 완성된다
      · 작업량=(일률1+일률2)x작업시간
③ 사람과 일의 관계가 아닌 다양한 표현이 나올 수 있다
     → 빠르게 분석하기 위해 여러 유형을 익혀야 할 것 같다

GCD·LCM: 개념보다 유형이 중요하다, 무조건 나눌 수 있다는 가정을 한다

1) 공약수와 공배수
 ① 약수: 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수
 ② 배수: 어떤 수의 1,2,3...배 하여 얻는 수
 ③ 공약수: 둘 이상의 수들의 공통인 약수
 ④ 공배수: 둘 이상의 수들의 공통인 배수

2) GCD(최대공약수)
 ① 의미: 둘 이상의 수들의 공약수 중에서 최대인 수
 ② 계산방법: 예) 12, 30, 70 최대공약수를 구하시오

3) LCM(최소공배수)
 ① 의미: 둘 이상의 수들의 공배수 중에서 최소인 수
 ② 계산방법: 예) 12, 30, 27 최소공배수를 구하시오

※ 최대공약수, 최소공배수 문제가 확실한 경우 무조건 어떤 수로 나누어진다고 생각하자

금액: 원가·정가·판매가·매출액

1) 원가: 이익을 붙이기 전의 가격
2) 정가: (원가)+(이익)=(정가)
3) 판매가: 정가에서 할인액(할인율)을 적용한 실제 판매가격
4) 실제이익: (판매가O, 정가X)-(원가) = (실제 이익)
5) 체크사항
        · 할인가는 할인액, 할인율 2종류로 계산한다
        · 할인율이 적용된 할인가(판매가) = (정가) x {1 - 할인율/100}
        · 할인율이 적용된 할인가(판매가) = (정가) - (할인액)
        · 할인율 = 할인액 / 정가 x 100(%)
※ 내가 계획했던 이익을 더한 가격 = 정가, 하지만 실제 판매 가격은 달라지고 이익도 계획과는 달라진다
    그래서 내가 계획한 판매가격에서 할인율을 적용하고 실제이익을 구할 수 있다

6) 매출액 = P x Q = 판매가 x 판매량
7) 체크사항
     · 판매가 = 정가x(1-할인율/100)
     · 판매량 = 생산량x(1-불량품율/100)
     · 생산량 = 생산총비용/제품단가
        생산량 = 판매량으로 가정한다

*경우의 수, 확률: 최소 2문제

1) 경우의 수
 ① 의미: 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가짓수
 ② 체크사항
     · 각 사건이 일어나는 경우를 여러 케이스로 분류하여 그 결과들을 더한다
     · 결과들을 더하기 전에 각각의 케이스들 사이에 중복된 경우가 있는지 살피고 뺀다
     · 하나의 사건이 일어나기 위해서는 두 가지 이상의 사건이 이어서 일어나기도 한다. 각 사건의 경우의 수를 곱한다.
 ③ 순열: 서로 다른 n개의 원소에서 서로 다른 r개를 택하여 순서를 고려하여 일렬로 배열하는 것
          → n개에서 r개를 택하는 순열, 기호로 nPr이라고 나타낸다
 ④ 조합: 서로 다른 n개의 원소에서 서로 다른 r개를 순서를 생각하지않고 택하는 것
          → n개에서 r개를 택하는 조합, 기호로 nCr이라고 나타낸다
 ⑤ 체크사항
     · n명 중에서 반장, 부반장,.. r명을 뽑는 경우의 수: nPr
     · n명 중에서 대표 r명을 뽑는 경우의 수: nCr
     · n명이 악수를 하는 경우의 수: nC2
     · 원형탁자에 n명을 앉히는 경우의 수: (n-1)!

2) 확률
 ① 확률: 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것
 ② 수학적 확률: 어떤 시행의 표본공간 S가 m개의 근원사건으로 이루어져 있고
                         각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때,
                         사건 A가 r개의 근원사건으로 이루어져 있으면 사건 A가 일어날 확률 P(A)는
                         P = n(A)/n(S) = r/m = 사건 경우의 수/전체사건 경우의 수
 ③ 확률의 기본 성질
         i) 임의의 사건 A에 대하여 0<=P(A)<=l
        ii) 반드시 일어나는 사건 S에 대하여 P(S) = 1
       iii) 절대로 일어나지 않는 사건 ø에 대하여 P( ø) = 0
 ④ 확률의 덧셈정리
      · 두 사건 A, B에 대하여 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률 = A와 B의 합집합(교집합은 곱셈)
 ⑤ 여사건의 확률
      · A의 여사건 Ac에 대해 P(A) + P(Ac) = 1
 ⑥ 조건부 확률
      · 확률이 0이 아닌 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률
           → 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부 확률이라 한다
           → P(B | A) =P(A ∩ B)/P(A)
 ⑦ 확률의 곱셈 정리
      · 두 사건 A, B가 동시에 일어날 확률
           → P(A ∩ B) = P(A) x P(B | A) = P(B) x P(A | B)
 ⑧ 체크사항
     · 2개의 주사위를 던졌을 때 전체 경우의 수 = 6x6
     · 5명이 5개 중에서 1개의 제비를 뽑는 경우, 순서에 상관없이 동일하게 뽑힐 확률을 갖는다