Baekjoon1011: Fly me to the Alpha Centauri

문제

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. (0 ≤ x < y < 231)

출력

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 횟수를 출력한다.

 

추상화

0. 최소한으로 장치를 작동하기 위해선 역시 최대한 빨리 가라는 뜻이다
1. 최대한 빨리 가기 위해 할 수 있는 만큼 가속을 해줘야한다
2. 하지만 제한조건이 붙어 있다. 도착 지점 이전에는 속도가 무조건 1(광년)이라는 것
3. 제한조건을 계속 생각해보자. 1광년 바로 전 공간에서의 속도는? 아마도 2아니면 1이었을 것이다

4. 엄청나게 긴 거리를 가정하면 속도는 다음과 같을 것이다
         →[시작] 1, 2, 3, 4 ... 4, 3, 2, 1 [도착]

5. 규칙성이 보인다. 마치 점화식(등차수열)과 같다
         → 주어진 거리 S(y-x의 값)를 표현할 수 있다 ex: (1+1) + (2+2) + (3+3) + 나머지 수
         → 그럼 여기서 1항은 (1 + 1), 2항은 (2 + 2) ...이런 식으로 생각할 수 있다
         → 나머지 수는 (4 + 4)보다는 작은 값이 될 것이다. 이것보다 커지면 다음 항이 되기 때문이다.

6. 그렇다면 저 나머지 수는 어떻게 처리해야할까?
         → S를 (1+1) + (2+2) + (3+3) + (4 + 4) + 나머지 수 라고 가정해보자
         → 나머지 수는 0일 수도 있고 3일 수도 있다. 하지만 (5 + 5)보다는 작을 것이다
              제한조건 : 0 <= 나머지 수 < (5+5)
 
              경우 1) 0 <= 나머지 수 <= 5 인 경우:  장치 작동을 한 번 더 해야한다
                                  ex: S = (1+1) + (2+2) + (3+3) + (4 + 4) + 1
                      *중앙에 나머지 수 1은 못오지 않는가??
                      →나머지 수의 위치가 꼭 중앙이 아니어도 된다. 비슷한 속도 구간에 배치한다고 생각한다

              경우 2) 5 < 나머지 수 < (5+5) 인 경우:  장치 작동을 두 번 해야한다
                                    S가 (1+1) + (2+2) + (3+3) + (4 + 4) + 6이라고 가정하자
                       풀어쓰면, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1 인데 4에서
                       갑자기 6으로 증가했으므로 규칙에 위배된다
                                    → 1+5, 2+4, 3+3 등으로 6을 나눠주고 배치한다
                                    → S의 예시 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 (=26)
                                    → 거리가 26일 때 최소 장치 작동 수는 10이다

7. 위와 같은 분석을 토대로 컴퓨터의 입력값을 처리하는 코드를 구상한다
예를 들어 입력값이 x: 20, y: 55이면 어떻게 해야할까?
1) 우선 x와 y의 차이를 구한다(= S)
2) 초기값 num에서 항을 더하기 시작한다. (1 + 1), (2 + 2)...
3) num이 S를 뛰어넘는 순간 작동을 멈춘다.
num은 (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + (4 + 4) + (5 + 5) + (6 + 6) = 42일 것이다
4) S는 num보다 작다는 조건으로 num을 통해 S를 역추적할 수 있다.
S = (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + (4 + 4) + (5 + 5) + 나머지 수 일 것이다
5) 나머지수가 5보다 같거나 작으면 작동횟수+1, 5보다 크면 작동횟수+2를 한다

 

단순화

점화식을 반복문을 통해 더해갈 수도 있다.
하지만 이 문제의 경우 초항이 1로 고정되어있고 등차수열을 이루고 있으니
공식을 활용하여 빠르게 연산할 수 있을 것이다
1부터 n까지의 합은 n(n+1)/2 므로 num은 다음과 같이 표현된다
num = n(n+1) + 나머지수

import java.io.*;
import java.util.StringTokenizer;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException{
	 BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	 BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	 StringTokenizer st;
	 int T = Integer.parseInt(br.readLine());
	 
	 for(int i =0; i<T; i++) {
		 st = new StringTokenizer(br.readLine()," ");
		 int min=0;
		 int num=0;
		 int n =0;
//min: 최소작동횟수
//num: 0부터 증가하는 수
//n: 항의 번호를 가져오기 위한 변수
		 int x = Integer.parseInt(st.nextToken());
		 int y = Integer.parseInt(st.nextToken());
		 int S = y-x;
		 for(int j=0;num<=S; j++) {
				num = j*(j+1);
//증가하는 항 i에 따라 num도 커진다
//num이 S보다 커지는 순간 반복문은 꺼진다
				if(num>=S) {
					n = j-1;
//num의 이전 항을 n에 저장한다 
				}
			}
		 int diff = S-n*(n+1);
//입력해준값 S에서 n항의 값을 빼준다
		 if(diff<=n+1) {
				min ++;
			} else if(diff>n+1) {
				min += 2;
			}
			min += 2*n;
		System.out.println(min);
	 }
}
}

?? 실패, 연산속도를 확인해야 했다

 

추상화2

주어진 S값은 다음과 같이 나타낼 수 있었다
n(n+1) <= n(n+1) + 나머지 수 < n(n+1) + 2n = n(n+3)
*나머지 수가 n+1보다 작거나 같을 때 +1, n+2보다 클 때 +2를 했다

위 조건을 수학적 부등식으로 나타내면 다음과 같다
n*n < n(n+1) < S , (n+1)*(n+1) <= n(n+3) 

여기서 의문점을 발견할 수 있다
S와 (n+1)(n+1)은 어떤 관계인가?
나머지의 크기값이 n+1을 기준으로 S의 값이 (n+1)(n+1)보다 크거나 작게 된다

논리를 계속 이어가기 보다 S값에 루트를 씌우면 답을 찾을 수 있을 것 같다

거리	1	2	3	4	5	6	7	8	9
최소작동	1	2	3	3	4	4	5	5	5
루트값	1	1.4	1.7	2	2.x	2.449	2.64	2.x	3

거리	10	11	12	13	14	15	16	17	18
최소작동	6	6	6	7	7	7	7	8	8
루트값	3.x	3.x	3.46	3.6	3.x	3.x	4	4.x	4.x

거리	19	20	21	22	23	24	25	26	27
최소작동	8	8	9	9	9	9	9	9	9
루트값	4.x	4.47	4.58	4.x	4.x	4.x	5	5.x	5.x

 

루트값이 1일 때, 최소작동과의 차이는 0이다.
루트값이 2일 때, 최소작동과의 차이는 1이다
루트값이 3일 때, 최소작동과의 차이는 2이다

즉, √ S % 1 == 0이면, 최소작동은 √ S * 2 - 1

루트값이 1.x~1.5일 때 최소작동과의 차이는 1이다
루트값이 1.5~1.x일 때 최소작동과의 차이는 2이다

루트값이 2.x~2.5일 때 최소작동과의 차이는 2이다
루트값이 2.5~2.x일 때 최소작동과의 차이는 3이다

루트값이 3.x~3.5일 때 최소작동과의 차이는 3이다
루트값이 3.5~3.x일 때 최소작동과의 차이는 4이다

즉, √ S % 1 != 0이면, 최소작동은 √ S 의 나머지에 따라 분류된다
1) 나머지가 0.5이하라면, 최소작동은 √ S 루트값의 정수 *2
2) 나머지가 0.5이상이라면, 최소작동은  √ S 루트값의 정수 *2 + 1

import java.io.*;
import java.util.StringTokenizer;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException{
	 BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	 BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	 StringTokenizer st;
	 int min =0;
	 int T = Integer.parseInt(br.readLine());
	 for(int i =0; i<T; i++) {
		 st = new StringTokenizer(br.readLine()," ");
		 min=0;
		 double x = Double.parseDouble(st.nextToken());
		 double y = Double.parseDouble(st.nextToken());
		 double root = Math.sqrt(y-x);
		 //루트값 구하기 
		 double decimal = root-(int)root;
		 //루트값의 소수부분 추출
		 int S = (int)root;
		//루트값의 정수부분 추출
		if(decimal ==0) {
			min = S*2-1;
		} else if(decimal<0.5) {
			min = S*2;
		} else if(decimal >0.5) {
			min = S*2+1;
		}
		bw.write(min+"\n");
	 }
	 bw.flush();
	 bw.close();
}
}